Wednesday, December 4, 2013

Forcing Axioms versus (V=something) axioms?

Samuel Gomes da Silva... Eu defendo a indecidibilidade de CH como consequência da riqueza indomável do Axioma das Partes; essencialmente Cohen disse isso também no livro dele, intuitivamente o Axioma das Partes inclui muitas coisas "que nao poderiam ser obtidas por Axioma da Substituicao" - nao tenho a citacao precisa agora mas posso correr atrás, tenho o livro na UFBA. Por outro lado, se restringimos aos subconjuntos construtíveis, temos aí inclusive GCH. Eu nao coloco na reta uma culpa que é do Axioma das Partes ! E defendo que a reta continue com o tamanho indecidível (mas eu sou suspeito pra isso, claro, dado que eu trabalho exatamente no intervalo entre aleph_1 e c).
Samuel Gomes da Silva (Em resumo, eu nao acho que a reta tenha alguma culpa de ser equipotente ao conjunto das partes de um conjunto infinito, nem do Axioma das Partes ser essa coisa, talvez, indeterminada !)
Rodrigo Freire Oi Samuel. No livro, o Cohen diz que CH é "obviamente falsa" na página 151, com ênfase no obviamente. Talvez ele acredite que essa riqueza do axioma das partes aponta para a falsidade de CH. Acredito que a culpa da indecidibilidade de CH não é de um axioma da teoria, mas da *falta* de axiomas na teoria.

Samuel Gomes da Silva... Mas vocês estao querendo domar o Axioma das Partes, no final... Nao vejo o por quê !

Samuel Gomes da Silva Sim, a maioria das "evidências empíricas", tipo dardos na reta ou decomposicao de Sierpinski, tendem a nos levar a pensar que CH é falso.

Samuel Gomes da Silva Como esses axiomas novam acabam domando o Axioma das Partes ? Eles também apelam a alguma "construtibilidade dos subconjuntos", certo ?

Samuel Gomes da Silva (Agora que eu li os posts anteriores sobre incompletudes sobretransitiva e subtransitiva, parece interessante... Mas eu ainda sou pela riqueza do Axioma das Partes, no final do dia)

Rodrigo Freire Entendo a sua impressão sobre o axioma das partes. Mas veja que o axioma das partes continua sendo um axioma da nova teoria, seja ela qual for. Não há restrição ao axioma das partes na teoria ZFL, por exemplo. Ninguém está propondo restringir o axioma das partes.   

Samuel Gomes da Silva Sim, mas alguma coisa está acontecendo para o "axioma problemático" de repente nao dar mais problema..
   
Rodrigo Freire Desse ponto de vista, não há axioma problemático. O problema é que está faltando axioma.Samuel Gomes da Silva ... Mas um axioma que mexa no funcionamento do outro... Nao sei. Nao acho legal nao.
  • Samuel Gomes da Silva (Bom, o V = L é uma baixa mexida no Axioma das Partes; esse V = ultimate L eu ainda nao vi o que faz)
     
     Rodrigo Freire De novo, para além de uma primeira impressão, não está claro o que é um axioma mexer no funcionamento do outro.

    Samuel Gomes da Silva Veja só: V = L decide o contínuo porque restringe o Axioma das Partes. Esse é um exemplo, creio que claro, de um axioma mexendo no outro ! O que acontece aí no V = ultimate L eu nao sei... Aliás, eu nao li o texto completo, em V = ultimate L o contínuo é aleph_1 ?

    Rodrigo Freire A teoria ZFL decide a CH porque ela acrescenta um axioma, e não porque ela restringe um axioma que já existia. ZFL só acrescenta axioma, não faz nada nos axiomas já presentes em ZFC. Não sei bem em que estágio está esse trabalho do Woodin, mas acho que a ideia é que o continuo seja aleph_1.
     
     
    • Samuel Gomes da Silva ... Na prática, faz (algo para os axiomas existentes) ! Se ela faz uma hierarquia de subconjuntos construtíveis, e depois disso que o universo é isso... Está, na prática, dizendo que só os subconjuntos construtíveis existem, nao ?
    • Rodrigo Freire Acredito que é importante distinguir duas coisas: Uma coisa é a construção do modelo L. Outra coisa é a teoria ZFL. ZFL é obtida a partir de ZF acrescentando um novo axioma. ZFL prova mais existenciais que ZFC, e, portanto, é uma teoria mais rica. Entre os modelos, o Joel Hamkins provou recentemente que qualquer modelo enumerável da teoria de conjuntos (com grandes cardinais ou não) é isomorfo a um submodelo do seu próprio universo construtível.
    • Daniel Victor Tausk Acho que o seguinte comentário ajuda a esclarecer alguma coisa: o axioma das partes diz apenas que, dado um conjunto A, então existe um conjunto B tal que todo conjunto *pertencente ao universo* e que estiver contido em A pertence a B. (O "pertencente ao universo" não está dito explicitamente na formulação do axioma, obviamente, mas está sempre subentendido no "para todo x".) O axioma das partes *não diz* que, se A é um conjunto, então todo subconjunto de A está no universo --- tipo de coisa que nem dá para formular em primeira ordem.
    • Daniel Victor Tausk Se o axioma V=L "doma" alguma coisa, seria a questão de *quais* subconjuntos de um conjunto A estão de fato no universo, e não o axioma das partes, que meramente diz que aquelas partes de A que estiverem no universo podem ser colocadas todas dentro de um conjunto. Mais precisamente: é possível que V=L seja inconsistente com compreensão de segunda ordem.
       
      • Samuel Gomes da Silva Hum. Gostei desse último comentário. Mas que existe alguma coisa sendo "domada", existe !
      • Daniel Victor Tausk Mais precisamente ainda: a teoria ZFC+não(CH) prova que V=L e compreensão de segunda ordem são incompatíveis, i.e., ela prova que todo modelo supertransitivo de ZFC (i.e., modelos de ZFC satisfazendo compreensão de segunda ordem) satisfazem não(V=L). De fato, não(CH) é absoluto para modelos supertransitivos. Assim, um modelo supertransitivo satisfaz não(CH) e portanto não(V=L).
      • Rodrigo Freire Isso, eu deixei de lado a discussão sobre as teorias de segunda ordem porque em fundamentos o foco é em teorias de primeira ordem. Se formulamos a teoria de conjuntos em segunda ordem, como o Zermelo fez, então a teoria já é mais ou menos categórica: Os únicos modelos são os V_k. Nesse caso, também, a hipótese do contínuo está decidida.
      • Daniel Victor Tausk Está decidida, mas nós não sabemos qual é a decisão.
      • Rodrigo Freire Em ZFC, V=L é equivalente a L é supertransitivo.
      • Samuel Gomes da Silva ... Sim, em segunda ordem a reta é categórica - "mas nao sabemos qual é a decisao". Interessante. A coisa toda do forcing também envolve poder "escapar" de alguma forma de V = L... Bom, eu prefiro a coisa do jeito que está, assim cheia de possibilidades kkkkkkkk...
      • Rodrigo Freire A incompatibilidade de V=L com compreensão de segunda ordem só é válida em uma teoria de background que já implica V diferente de L. Porque se vale V=L, então L é supertransitivo. Se a teoria prova que L não é supertransitivo, então ela prova V diferente de L.
      • Daniel Victor Tausk Hmmm... mas eu estou pensando que a maneira certa de formalizar "V=L é incompatível com compreensão de segunda ordem" numa dada teoria de conjuntos seria através de uma afirmação sobre modelos (conjunto): "todo modelo (conjunto) que seja supertransitivo satisfaz não(V=L)". Com essa formulação não vale usar o próprio L, que é classe própria.
      • Daniel Victor Tausk (Em geral, entendo que a maneira adequada de formalizar numa teoria de conjuntos a afirmação "a teoria de segunda ordem T é consistente" é "existe um modelo (conjunto) para T".)
      • Daniel Victor Tausk Será que é possível ter uma teoria de background na qual vale não(V=L), mas na qual há um modelo (conjunto) supertransitivo de ZFL?
      • Rodrigo Freire Vamos tentar transformar o argumento com L em um argumento com conjuntos. Considere a teoria ZFC + k é fortemente inacessível. Nessa teoria V=L implica L_k = V_k. Portanto, em ZFC + k é fortemente inacessível, V=L implica que existe um modelo supertransitivo de ZFL.
      • Rodrigo Freire (k pode ser fracamente inacessível).
      • Daniel Victor Tausk Não é tão óbvio para mim que V=L ==> V_k=L_k, preciso pensar.
      • Rodrigo Freire Considere a teoria de background ZFC. Seja V_k um nível que reflete uma parte finita apropriada de ZF + V=L. Nesse caso, V+ L implica V_k = L_k. Portanto, em ZFC, V=L implica que existe um modelo supertransitivo de qualquer parte finita previamente dada de ZFL.
      • Daniel Victor Tausk Mas isso provou que, com k inacessível, V=L ==> V_k=L_k? Não estou vendo.
      • Rodrigo Freire O argumento com k inacessível usa esse fato. Se V=L então k é fortemente inacessível e, nesse caso, L_k = H_k = V_k.
      • Daniel Victor Tausk Continuo não vendo. Dado x em V_k, usando o truque de reflexão arrumamos um V_lambda com x em V_lambda, tal que V_lambda reflete alguma parte finita apropriada de ZFL e daí obtemos V_lambda=L_lambda, logo x está em L_lambda. Mas porque lambda<=k?
      • Rodrigo Freire São os teorema 6.6 e lema 4.11 das páginas 132 e 176, respectivamente, do Kunen.
      • Rodrigo Freire No argumento com reflexão, estou pensando no k apenas como um ordinal tal que V_k reflete a parte finita apropriada de ZFL.
      • Daniel Victor Tausk Agora faltou esclarecer se ZFC+não(V=L) admite modelos supertransitivos satisfazendo V=L. Por exemplo, será que seria possível ter V_k=L_k para algum k fortemente inacessível, mas não(V=L)?
      • Rodrigo Freire Esse lado eu não sei.
      • Rodrigo Freire Resumindo o lado que provamos: 1) Se em uma teoria de background em que existe um cardinal inacessível vale que não há modelo supertransitivo de ZFL então nessa teoria vale que V é diferente de L. 2) Dada uma coleção finita A de axiomas da substituição, se em uma teoria de background vale que não há modelo supertransitivo de ZC + V=L + A então nessa teoria vale que V é diferente de L.
      • Rodrigo Freire Não é possível perder os conjuntos que nós nunca tivemos. O axioma V=L "tira" conjuntos do universo somente se partimos de um background em que já é o caso que V é diferente de L. Não podemos usar o argumento que V=L "restringe" ou "doma" o universo para rejeitar V=L, porque esse argumento já pressupõe V diferente de L.
      • Valeria De Paiva Guys, guys, maybe we should move this conversation to google plus. for three reasons: 1. posts there can be longer 2. one can write more mathematical symbols and 3. but most importantly, the woman who wrote the article above managed to convey very cle...See More
      • Samuel Gomes da Silva ... OK no quanto a "nao podemos tirar o que nunca tivemos", mas também me parece estranho dizer "olha, estes nunca existiram". Também acho meio "difícil de comprar" o argumento de que "uma coisa é a construcao de L, outra coisa é o axioma V = L"... Me ...See More
      • Samuel Gomes da Silva Valeria, eu nao estou no Google plus nao... E também nao tenho muito interesse em sites como MathOverflow e essas coisas nao ! Enfim...
      • Daniel Victor Tausk Se assumimos uma posição realista (não acho que seja o nome adequado, mas, enfim, é o nome que normalmente se usa --- ou então se diz "platonista", que é um nome ainda pior) a respeito da hierarquia V, de modo que V=L é uma proposição significativa, co...See More
      • Samuel Gomes da Silva ... Ainda sobre o "nao dá pra perder o que nunca tivemos" (gostei dessa, hehe, apesar de nao concordar muito). A impressao que me causa o V = L é de restricao, sim. OK, nao temos nenhuma idéia de se vale V = L ou V diferente de L, mas, "estatisticament...See More
      • Rodrigo Freire Vou retomar um pouco o contexto inicial da discussão, e explicar minha posição. O Daniel Victor Tausk está certo: não estou dizendo que há evidência para a verdade ou falsidade de V = L.
      • Rodrigo Freire A discussão começa com o programa de modelos internos. Esse programa do Woodin e outros, visa construir um modelo interno do tipo L e um axioma que V é esse modelo. Para que isso? Por que não deixamos a coisa como está? Para responder a isso, é interessante olhar o que acontece no caso mais familiar: ZFC + V=L.
      • Rodrigo Freire Em que situação podemos dizer que temos uma "teoria de X"? No sentido usual da expressão, uma "teoria de X" é uma descrição completa de X, e não apenas uma coleção de "teses sobre X". Pelo que disse acima (envolvendo aquela distinção incompletude subtr...See More
      • Rodrigo Freire Outro ponto que eu chamo a atenção é: o argumento usual para dizer que V é diferente de L é nada. Segundo esse argumento, L é uma restrição do universo. Acontece que L é uma restrição do universo apenas sob a condição que V é diferente de L. Portanto o argumento usual para V diferente de L é da forma: *V diferente de L ==> V diferente de L*.
      • Rodrigo Freire Outra *teoria* de conjuntos interessante é ZFC + V=L[m]. Acho essa teoria mais interessante que ZFL + existem exatamente n cardinais inacessíveis.
      • Rodrigo Freire Usando a distinção do Daniel, o que seria uma *teoria* de conjuntos de "V" em primeira ordem? Acho que seria algo mais ou menos assim: uma extensão de ZFC, obtida pela adição de um axioma "local" (um axioma que não diz respeito à estrutura global do universo V) e que seja tão completa como ZFC + V=L[m].
      • Rodrigo Freire Infelizmente, acredito que não é possível uma*teoria* de conjuntos de "V" nesse sentido. Mas isso é uma impressão apenas.
      • Samuel Gomes da Silva Claro que "V diferente de L" implica "V diferente de L" nao é um argumento, mas eu nao vejo evidências de que aceitar que "V = L" seja muito melhor do que isso ! Oras, eu nao sei se V é diferente de L, mas nao vejo porque é mais "razoável" dizer que "é...See More
      • Samuel Gomes da Silva (Tou viajando aqui. Fazer uma festa "só para corinthianos" nao pode ser dita inicialmente uma festa restrita, só porque eu nao sei, a priori, se existem sao-paulinos, palmeirenses e santistas interessados em ir nela ? Por que se nao existisse ninguém que fosse barrado na porta, nao seria restrita ? Nao estou comprando muito essa de "V = L nao é uma restricao"...)
      • Rodrigo Freire Sim, encontrar uma *teoria* de conjuntos é um dos desiderata apenas de pessoas com perfil fundacionista. Também não vejo evidências para V = L, nem para V diferente de L. Contudo, se não é possível alcançar uma *teoria* de conjuntos de outro modo, então "de todas as opções possíveis" uma terá que ser escolhida, e pode ser L, L[m], ultimate L, ou alguma outra.
      • Rodrigo Freire Se há não-corintianos a festa é restrita; se tudo que há é corintiano por definição então a festa não é restrita.
      • Samuel Gomes da Silva ... Mas a parte que eu nao gosto é definir tudo como corinthiano. É consistente, mas...
      • Samuel Gomes da Silva Agora, esquecendo essa coisa de V ser L ou nao: como estávamos falando eu e Alberto Levi, de qualquer forma teremos proposicoes indecidíveis, pelo Teorema de Incompletude. Entao... O que é uma "teoria" de conjuntos entao ? Completa sintaticamente nao vai ser... O que estou perdendo de sutileza nisso aí ?
      • Rodrigo Freire Sim, a completude almejada por Hilbert não é possível. Contudo, é possível almejar "completudes" mais fracas. Uma possível definição de uma noção natural de completude fraca seria "imunidade a forcing": Uma teoria é completa nesse sentido se não é poss...See More
      • Samuel Gomes da Silva ... Mas e se eu gosto de usar forcing ? Sei lá, eu acho que os interesses nossos sao muito distintos pra gente concordar em alguma coisa. Eu nao vejo problema em que uma teoria tenha resultados de consistência obtidos por forcing, entao o seu critério nao me "anima" muito.
      • Rodrigo Freire Pois é Samuel. É como eu já disse antes: Acredito que para entender um pouco qual é o ponto do programa de modelos internos é preciso pensar com uma mente fundacionista. *Para a fundamentação da matemática na teoria de conjuntos na tradição do Hilbert*...See More
      • Rodrigo Freire Agora, e quanto as pessoas que fizeram a carreira usando forcing? Não muda nada, os resultados de independência e consistência valem para ZFC. Por outro lado, para um fundacionista, na tradição do Hilbert, que tem um ideal de completude, um dos objetivos é, tanto quanto possível, eliminar essa possibilidade, claro.
      • Samuel Gomes da Silva Rapaz, é um ponto de vista bem diferente, mesmo ! Imagina só, ficar valendo o contínuo igual a aleph_1 e não pode fazer forcing mais kkkkk... Eu perco o emprego ! Mas tá certo, entendi.
      • Daniel Victor Tausk A idéia seria adotar ZFL (ou ZFC+V=algum modelo interno) como axiomática padrão da matemática? Isso me parece bastante estranho. Assumir V=L tem conseqüências sobre assuntos de matemática que não são só teoria de conjuntos. Existem várias questões natu...See More
      • Daniel Victor Tausk O ponto é que não parece justo dizer que "ell_infinito/c_0 é primário" é um fato da Análise Funcional porque podemos provar "ell_infinito/c_0 é primário" em ZFL. A prova de que "ell_infinito/c_0 é primário" em ZFL é uma prova da relativização a L de "e...See More
      • Daniel Victor Tausk Por exemplo, em Análise Funcional, quando dizemos "para todo subespaço fechado Y de um espaço de Banach X", certamente não estamos pensando em "para todo subespaço fechado Y de X que pertence a L".
      • Daniel Victor Tausk Assim, me parece que afirmações a respeito de espaços de Banach, variedades diferenciáveis, anéis, módulos, provados em ZFC são realmente fatos a respeito de espaços de Banach, variedades diferenciáveis, anéis, módulos, etc. Por outro lado, não vejo ne...See More
      • Samuel Gomes da Silva (Gostei dos comentários do Tausk !)
      • Rodrigo Freire Me parece que a ideia seria adotar ZFC + algo desse tipo como uma axiomática padrão da *teoria de conjuntos*. Afinal, acho que muita gente trabalhando nisso acredita que a teoria de conjuntos é um assunto com interesse próprio, independente do seu pape...See More
      • Rodrigo Freire Em uma situação hipotética em que os teóricos de conjuntos passassem a adotar ZFL, por exemplo, como a teoria padrão de conjuntos, e os analistas, algebristas, etc continuassem no mesmo setup (ZFC, ou um fragmento de ZFC), poderia ocorrer essa separação clara da matemática e da teoria de conjuntos. Ninguém mais consideraria a hipótese que matemática = teoria de conjuntos.
      • Rodrigo Freire Nessa situação hipotética, a fundamentação da teoria de conjuntos teria como consequência a separação da teoria de conjuntos de um lado e da matemática de outro. Não é uma situação tão absurda: esse casamento não é muito homogêneo.
      • Daniel Victor Tausk Por outro lado, há aplicações de teoria de conjuntos em matemática, então continuaria havendo gente trabalhando na "teoria de conjuntos pré-separação", usando, por exemplo, forcing para estudar a consistência de princípios combinatórios, que serão usados em topologia geral, análise funcional, etc.
      • Rodrigo Freire Claro. Alguma interseção continuaria existindo, por isso não acabaria com a carreira do Samuel (brincadeira. Quer dizer, é sério que não acabaria). Seria uma situação em que a fundamentação da teoria de conjuntos (enquanto teoria matemática do infinito...See More
      • Samuel Gomes da Silva ...Nossa, Teoria dos Conjuntos como algo "à parte" !!! Está tudo muito radical aqui kkkk... Mas está interessante e Valeria De Paiva está é gostando, o que ela gostaria é que a gente tivesse um blog sobre isso mas aí já é pedir demais pra nós, pobres conjuntistas (fundamentacionistas ou não)...
      • Valeria De Paiva Exatamente Samuel Gomes da Silva estou gostando muito da conversa sim, mesmo que tenha dezenas de lugares onde eu nao entendo (e uns poucos onde nao concordo) com as assercoes. e sim, acho que seria muito preferivel um blog escrito a 4 pares de maos e ...See More
      • Rodrigo Freire Oi Valeira, obrigado por convidar, interessante a ideia do blog. Por outro lado, parece que a conversa no facebook surge mais espontaneamente, e é bem mais informal do que escrever um blog. De qualquer modo, eu topo continuar falando sobre esses assuntos, informalmente.
      • Samuel Gomes da Silva Solucao intermediária: a Valeria poderia registrar essas conversas do Facebook NO blog.
      • Valeria De Paiva sim, eu posso Samuel. e so' "dumping" a conversa num blog post 'e facil e pelo menos a gente consegue achar mais tarde. mas o que seria mais legal seria re-organizar as conversas ne? porque as coisas estao precisando de mais explicacao, mais background...See More
      • Samuel Gomes da Silva ... Vamos acertando os formatos aos poucos.