I've posted in Facebook this interesting and easy-to-read article by N. Walchover
A lively discussion ensued between Samuel, Rodrigo and Daniel. I thought it would be nice if it could be rewritten in a form that I could understand, given that I am not a set theorist...Maybe they can be persuaded to rewrite it? It is worth a go..
Samuel asks if I can compile the discussion here.
I guess I can, but making sense of it is another story. 114 comments plus 16 shares.
...
Nâo acredito que a axiomática mude durante o meu tempo de vida (mas
muita gente quer isso, por exemplo para decidir a Hipótese do Contínuo)
Nao, esse V = ultimate L é novidade pra mim, preciso dar uma olhada com mais calma.
Esse
problema dos novos axiomas é muito complexo, mas faz um tempo que as
pessoas se concentram nessas duas famílias de axiomas: axiomas de
forcing (Martin, PFA, etc) e axiomas de modelos internos (V=L[A]). Eu
escrevi um pequeno artigo, uma contribuição mínima, segundo uma
perspectiva bem específica, que faz uma análise comparada de axiomas do
tipo V = algo parecido com L e do axiomas de Martin.
e cade o artigo Rodrigo Freire?
É o terceiro artigo de uma série. Ainda não está publicado. O segundo será publicado no próximo número do ndjfl.
Esse
novo axioma começa assim: "There is a proper class of Woodin
cardinals..." Até para mim, que gosto muito de large cardinals, parece
bastante "fé" em large cardinals adotar um axioma assim! Outra coisa,
pelo que entendi, CH vale com esse axioma. GCH também? O enunciado do
axioma está na última página de http://logic.harvard.edu/EFI_Woodin...
(A
coisa de ter um axioma que implique CH é meio que a origem de tudo, a
galera quer que os axiomas decidam o valor do contínuo, enfim)
Outro
trecho que mostra claramente a "fé" do Woodin em large cardinals (e não
só nos Woodin cardinals, hehe), está na página 7 do artigo: o
comentário entre o Teorema 7 e o Corolário 8. Agora, imagino que esse
pessoal pense mais ou menos como Gödel sobre CH: It “must be either true
or false,” the mathematical logician Kurt Gödel wrote in 1947, “and its
undecidability from the axioms as known today can only mean that these
axioms do not contain a complete description of reality.”
Um tópico no MathOverflow sobre isso: http://mathoverflow.net/q/46907/39086
... Bom, como é sabido eu não penso assim, e até torço para CH continuar indecidível para que o meu trabalho tenha alguma graça.
Eu
tbm não sou tão "platônico" quanto esse pessoal aí, e eu tbm não gostei
dessa estoria de "fixar" o tamanho de c! De qualquer forma, como ficam
as potências dos outros cardinais? Se não forem também "fixadas", me
parece "serviço feito pela metade". E de qualquer forma, haverão
necessariamente "outras coisas indecididas", por causa do Primeiro
Teorema de Incompletude de Gödel, não é?
Sim,
eu costumo pensar assim, "se vão com certeza haver coisas indecidíveis,
qual o problema do aleph do tamanho da reta ser uma delas ?"...
Primeiro,
vamos separar a incompletude ligada a hipótese do continuo daquela
ligada ao teorema da incompletude. Considere a seguinte distinção
(implicitamente presente no meu artigo mencionado acima):
1)
sentença indecidível do tipo *subtransitiva* e 2) sentença indecidível
do tipo *sobretransitiva*. Dizemos de uma sentença indecidível que ela é
subtransitiva se a ela é atribuído o mesmo valor de verdade em todos os
modelos transitivos (de ZF). Do mesmo modo, dizemos de uma sentença
indecidível que ela é sobretransitiva se existem modelos transitivos que
diferem com relação a atribuição de valor de verdade para ela.
As
sentenças indecidíveis do tipo subtransitivo tem origem, realmente, em
uma limitação da lógica de primeira ordem, e não tem a ver com a
axiomatização específica da teoria de conjuntos. A sentença de Godel é
assim. Acontece que os modelos não-transitivos são muito estranhos do
ponto de vista conceitual. Um modelo é um universo de conjuntos, um
domínio de existência de conjuntos: Um modelo é uma possível resposta
para a questão "que conjuntos há?" Um modelo não-transitivo é um modelo
em que há conjuntos tais que um de seus elementos não existe. Pois é,
parece absurdo que uma tal coisa seja um domínio de existência
admissível. Acontece que a lógica de primeira ordem
permite essas
coisas.
Se
decidirmos então não olhar para os modelos não-transitivos, o programa
de modelos internos faz muito mais sentido. Buscamos novos axiomas de
modo a eliminar a incompletude "sobretransitiva". Essa sim é uma falha
da axiomatização. A incompletude "subtransitiva" é uma limitação da
lógica de primeira ordem, é um fato da vida se estamos restritos a
axiomatizações de primeira ordem. Mas a incompletude sobretransitiva
não. Exemplo (nada surpreendente): A teoria ZF + V=L, que vamos abreviar
por ZFL. Todos os modelos *transitivos* dessa teoria são da forma L_k.
Intuitivamente, esses modelos diferem apenas com relação aos cardinais
fortemente inacessíveis que eles contém (e nenhum deles pode chegar ao
ponto de conter um mensurável.) Eu diria que nesse caso a incompletude
"sobretransitiva" foi eliminada. Lembrando que cardinais fortemente
inacessíveis também estão ligados ao teorema de Godel.
Especificamente
com relação à hipótese do continuo, eu posso apresentar uma motivação
para tentar decidi-la: A teoria de conjuntos é, por um lado, uma "teoria
matemática do infinito" e, por outro lado, um fundamento para a
matemática clássica. A hipótese do continuo liga as duas coisas: Qual é a
classificação dos reais (um objeto da matemática clássica) dentro dessa
hierarquia de infinitos? A indecidibilidade de CH pode ser vista como
uma falta de conexão entre esses dois aspectos da teoria de conjuntos, o
que parece muito grave. A teoria é meio esquizofrênica, ela possui duas
faces que não se comunicam: O continuo pode ser classificado como quase
qualquer infinito. Parece que essa coisa de classificação de cardinais
infinitos não tem nada a ver com a matemática acima dos naturais. Me
parece importante resolver esse conflito interno da teoria.
Há
outras motivações para tentar formular uma teoria que fixe a hipótese
do contínuo. Por exemplo, podemos analisar os argumentos daqueles que
defendem que a hipótese do continuo *não* possui um valor de verdade
determinado. O Feferman defende essa posição dizendo que CH é
inerentemente vaga. O que tem de vago em CH? CH pode ser formulada do
seguinte modo: Se X é um subconjunto dos reais então existe uma
sobrejeção de omega em X ou uma sobrejeção de X nos reais. O que tem de
vago aí? Ser subconjunto dos reais é vago? um conjunto X é
{a,b,c,d,...}. X é subconjunto dos reais sse a é real, b é real, c é
real, d é real, ... Isso é vago? Eu acho que não, então não compro o
argumento do Feferman.
Muitas
outras coisas podem ser ditas sobre isso. Eu recomendo dar uma olhada
na teoria ZFC + V=L[m], em que L[m] é o modelo interno canônico para um
cardinal mensurável. O programa está bem acima dos cardinais
mensuráveis, mas eu (modestamente) acho que essa teoria já é bem
satisfatória.
