All you didn't want to know about Set Theory. And some more...

I've posted in Facebook this interesting and easy-to-read article by N. Walchover

To Settle Infinity Dispute, a New Law of Logic

A lively discussion ensued between Samuel, Rodrigo and Daniel. I  thought it would be nice if it could be rewritten in a form that I could understand, given that I am not a set theorist...Maybe they can be persuaded to rewrite it? It is worth a go..


Samuel asks if I can compile the discussion here.
I guess I can, but making sense of it is another story. 114 comments plus 16 shares.

Samuel Gomes da Silva ... Nâo acredito que a axiomática mude durante o meu tempo de vida (mas muita gente quer isso, por exemplo para decidir a Hipótese do Contínuo)

Valeria De Paiva sim, a discussao ja' existe ha um tempao, mas tinhas visto essa versao?

Samuel Gomes da Silva Nao, esse V = ultimate L é novidade pra mim, preciso dar uma olhada com mais calma.
Rodrigo Freire Esse problema dos novos axiomas é muito complexo, mas faz um tempo que as pessoas se concentram nessas duas famílias de axiomas: axiomas de forcing (Martin, PFA, etc) e axiomas de modelos internos (V=L[A]). Eu escrevi um pequeno artigo, uma contribuição mínima, segundo uma perspectiva bem específica, que faz uma análise comparada de axiomas do tipo V = algo parecido com L e do axiomas de Martin.

Valeria De Paiva e cade o artigo Rodrigo Freire?
Rodrigo Freire É o terceiro artigo de uma série. Ainda não está publicado. O segundo será publicado no próximo número do ndjfl.

Alberto Levi Esse novo axioma começa assim: "There is a proper class of Woodin cardinals..." Até para mim, que gosto muito de large cardinals, parece bastante "fé" em large cardinals adotar um axioma assim! Outra coisa, pelo que entendi, CH vale com esse axioma. GCH também? O enunciado do axioma está na última página de http://logic.harvard.edu/EFI_Woodin...
Samuel Gomes da Silva (A coisa de ter um axioma que implique CH é meio que a origem de tudo, a galera quer que os axiomas decidam o valor do contínuo, enfim)

Alberto Levi Outro trecho que mostra claramente a "fé" do Woodin em large cardinals (e não só nos Woodin cardinals, hehe), está na página 7 do artigo: o comentário entre o Teorema 7 e o Corolário 8. Agora, imagino que esse pessoal pense mais ou menos como Gödel sobre CH: It “must be either true or false,” the mathematical logician Kurt Gödel wrote in 1947, “and its undecidability from the axioms as known today can only mean that these axioms do not contain a complete description of reality.”     
Alberto Levi Um tópico no MathOverflow sobre isso: http://mathoverflow.net/q/46907/39086 
Samuel Gomes da Silva ... Bom, como é sabido eu não penso assim, e até torço para CH continuar indecidível para que o meu trabalho tenha alguma graça.

Alberto Levi Eu tbm não sou tão "platônico" quanto esse pessoal aí, e eu tbm não gostei dessa estoria de "fixar" o tamanho de c! De qualquer forma, como ficam as potências dos outros cardinais? Se não forem também "fixadas", me parece "serviço feito pela metade". E de qualquer forma, haverão necessariamente "outras coisas indecididas", por causa do Primeiro Teorema de Incompletude de Gödel, não é?
Samuel Gomes da Silva Sim, eu costumo pensar assim, "se vão com certeza haver coisas indecidíveis, qual o problema do aleph do tamanho da reta ser uma delas ?"...  
  

Rodrigo Freire Vocês estão certos em questionar a pertinência do programa do Woodin. Contudo, a vida de quem trabalha com fundamentação da matemática clássica na teoria de conjuntos não é tão simples. Não posso dizer quais são as motivações do Woodin para perseguir esse programa; certamente ele as tem. Mas posso fornecer algumas respostas para alguns dos questionamentos acima.

Rodrigo Freire Primeiro, vamos separar a incompletude ligada a hipótese do continuo daquela ligada ao teorema da incompletude. Considere a seguinte distinção (implicitamente presente no meu artigo mencionado acima):

1) sentença indecidível do tipo *subtransitiva* e 2) sentença indecidível do tipo *sobretransitiva*. Dizemos de uma sentença indecidível que ela é subtransitiva se a ela é atribuído o mesmo valor de verdade em todos os modelos transitivos (de ZF). Do mesmo modo, dizemos de uma sentença indecidível que ela é sobretransitiva se existem modelos transitivos que diferem com relação a atribuição de valor de verdade para ela.

 

As sentenças indecidíveis do tipo subtransitivo tem origem, realmente, em uma limitação da lógica de primeira ordem, e não tem a ver com a axiomatização específica da teoria de conjuntos. A sentença de Godel é assim. Acontece que os modelos não-transitivos são muito estranhos do ponto de vista conceitual. Um modelo é um universo de conjuntos, um domínio de existência de conjuntos: Um modelo é uma possível resposta para a questão "que conjuntos há?" Um modelo não-transitivo é um modelo em que há conjuntos tais que um de seus elementos não existe. Pois é, parece absurdo que uma tal coisa seja um domínio de existência admissível. Acontece que a lógica de primeira ordem 

permite essas coisas. 

 

Se decidirmos então não olhar para os modelos não-transitivos, o programa de modelos internos faz muito mais sentido. Buscamos novos axiomas de modo a eliminar a incompletude "sobretransitiva". Essa sim é uma falha da axiomatização. A incompletude "subtransitiva" é uma limitação da lógica de primeira ordem, é um fato da vida se estamos restritos a axiomatizações de primeira ordem. Mas a incompletude sobretransitiva não. Exemplo (nada surpreendente): A teoria ZF + V=L, que vamos abreviar por ZFL. Todos os modelos *transitivos* dessa teoria são da forma L_k. Intuitivamente, esses modelos diferem apenas com relação aos cardinais fortemente inacessíveis que eles contém (e nenhum deles pode chegar ao ponto de conter um mensurável.) Eu diria que nesse caso a incompletude "sobretransitiva" foi eliminada. Lembrando que cardinais fortemente inacessíveis também estão ligados ao teorema de Godel.

 

Especificamente com relação à hipótese do continuo, eu posso apresentar uma motivação para tentar decidi-la: A teoria de conjuntos é, por um lado, uma "teoria matemática do infinito" e, por outro lado, um fundamento para a matemática clássica. A hipótese do continuo liga as duas coisas: Qual é a classificação dos reais (um objeto da matemática clássica) dentro dessa hierarquia de infinitos? A indecidibilidade de CH pode ser vista como uma falta de conexão entre esses dois aspectos da teoria de conjuntos, o que parece muito grave. A teoria é meio esquizofrênica, ela possui duas faces que não se comunicam: O continuo pode ser classificado como quase qualquer infinito. Parece que essa coisa de classificação de cardinais infinitos não tem nada a ver com a matemática acima dos naturais. Me parece importante resolver esse conflito interno da teoria.

 

Há outras motivações para tentar formular uma teoria que fixe a hipótese do contínuo. Por exemplo, podemos analisar os argumentos daqueles que defendem que a hipótese do continuo *não* possui um valor de verdade determinado. O Feferman defende essa posição dizendo que CH é inerentemente vaga. O que tem de vago em CH? CH pode ser formulada do seguinte modo: Se X é um subconjunto dos reais então existe uma sobrejeção de omega em X ou uma sobrejeção de X nos reais. O que tem de vago aí? Ser subconjunto dos reais é vago? um conjunto X é {a,b,c,d,...}. X é subconjunto dos reais sse a é real, b é real, c é real, d é real, ... Isso é vago? Eu acho que não, então não compro o argumento do Feferman. 

 

Muitas outras coisas podem ser ditas sobre isso. Eu recomendo dar uma olhada na teoria ZFC + V=L[m], em que L[m] é o modelo interno canônico para um cardinal mensurável. O programa está bem acima dos cardinais mensuráveis, mas eu (modestamente) acho que essa teoria já é bem satisfatória.